JANGUN


대학수학


지음 : 김우철, 이긍희



목차

제1장 수학의 기초
제2장 집합
제3장 함수
제4장 수열과 함수의 극한
제5장 미분법
제6장 미분법의 응용
제7장 적분법
제8장 정적분의 응용
제9장 행렬과 벡터
제10장 다변수함수의 미적분


제1장 수학의 기초

- 수학은 현실 문제를 추상화 또는 일반화하여 그 문제를 논리적으로 해결할 수 있는 학문이다.

- 수학의 명제는 연역법, 귀류법, 수학적 귀납법으로 증명한다.
- 실수는 유리수와 무리수로 구성되어 있다. 두 실수가 있다면 대소의 순서가 있고 덧셈과 곱셈에 대해 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립하며 항등원과 역원이 존재한다.
- 두 실수 사이의 모든 점의 모임을 구간이라고 한다.
- 방정식은 직교좌표 체계에서 그래프로 나타낼 수 있다.



제2장 집합

- 집합은 구별되는 원소들을 정의하여 전체로 묶은 것이다.
- 집합은 각각이 서로 명확하게 구분되어 있는 원소들을 명확히 정의하여 전체로 묶은 것이다.
- 집합을 나타내는 방법에는 원소나열법과 조건제시법이 있다.
- 합집합은 두 집합중 적어도 한쪽에 속하는 원소 전체의 집합이며 교집합은 두 집합 양쪽 모두에 속해 있는 원소 전체의 집합이다.
- 어떤 집합의 여집합은 전체집합에는 속하지만 자신의 집합에 속하지 않는 집합이다.
- 집합도 실수와 같이 연산을 할 수 있는데 주요 법칙으로는 분배법칙 및 드모르간 법칙이 있다.
- 여집합 Ac = { x∈U | x ∉ A }, 여기서 U는 전체집합
- 합집합 A∪B = { x∈U | x∈A 또는 x∈B }
- 교집합 A∩B = { x∈U | x∈A 그리고 x∈B }
- 차집합 A-B = { x∈U | x∈A 그리고 x∈Bc }
- 분배법칙 A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C) = (A∪B)∩(B∪C)
- 드모르간의 법칙 (A∩B)c = Ac∪Bc, (A∪B)c = Ac∩Bc



제3장 함수

- 함수는 두 집합 간의 관계를 나타내는 것이다.
- 함수는 함수식 y=f(x)에서 존재성 조건과 유일성 조건을 만족하는 순서쌍 (x, y)들의 집합이다.
- 전사함수는 공역과 치역이 같은 함수이며, 단사함수는 서로 다른 정의역의 원소에 대해서 서로 다른 함수값을 가지는 함수이다. 전사함수이면서 단사함수인 함수를 전단사함수라고 한다.
- 전단사함수는 일대일함수라 하는데 역함수가 존재한다.
- 함수사이에도 연산할 수 있는데 함수에 또다른 함수를 적용하는 함수를 합성합수라 부른다.
- 임의의 실수 x에 대해서 f(-x)=f(x)를 만족하면 우함수, f(-x)=−f(x)이면 기함수라 한다.
- 삼각함수는 각도(angle)의 함수로 주기적 현상을 설명할 때 자주 이용되는 함수이다.
- 지수함수는 비선형적으로 증가하는 형태를 쉽게 표현하기 위해 만들어진 함수이고 로그함수는 지수함수의 역함수이다.



제4장 수열과 함수의 극한

- 수열은 자연수의 집합에서 정의된 수치함수이다.
- 무한등비수열 {𝑎𝑟(n-1)}은 -1<r≤1 일 때 수렴한다.
- 무한급수는 수열의 부분합의 극한으로 정의된다.
- 무한급수의 수렴성을 조사하는 방법에는 비교판정법, 비율판정법, 교대급수 정리 등이 있다.
- 함수의 좌극한과 우극한이 같을 때 극한값이 존재한다.
- 어떤 함수가 어떤 구간에 속하는 모든 점에서 연속이면, 그 함수를 그 구간에서 연속이라고 한다.

함수의 극한 :
- 함수 y=f(x)에서 x가 a와 다른 값을 취하면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)가 b로 한없이 가까이 감
- 임의의 양수 ε에 대하여, 다음의 조건을 만족하는 양수 δ가 반드시 존재하면 lim(𝑥→𝑎)⁡𝑓(𝑥)=𝑏라고 한다.
- 조건 : 0 < | x-a| < δ인 모든 x에 대하여, f(x)가 정의되어 있고 | f(x) – b | < ε

함수의 연속 :
- x=a에서 함수값 f(a)가 정의되고, lim(𝑥→𝑎)⁡𝑓(𝑥)가 존재하며, lim(𝑥→𝑎)𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎)일 때 함수는 연속이라 함.
- 임의의 양수 ε에 대하여 다음 δ가 존재.
- 조건 : | x – a | < δ이면, | f(x)-f(a) | < ε



제5장 미분법

- 평균변화율 : (x1, x1+△x)에서 △x에 대한 △y=f(x1+ △x)-f(x1)의 비율, 즉 △y/ △x
- 미분계수 : 평균변화율의 극한 값
- 도함수 f’(x)는 평균변화율의 극한값으로 이루어진 함수이며, 도함수의 값은 원래의 함수의 그래프의 각 점에서의 접선의 기울기가 된다.

- 함수 y=f(x)가 x=x1에서 미분가능하면, 그 점에서 함수 f(x)는 연속이며, 점(x1, y1)에서 접선의 방정식은 아래와 같다.

- 상수함수와 다항함수의 도함수
(1) 상수함수 : f(x)=c 일 때, f’(x) = 0
(2) 다항함수 : f(x)=xn (n은 자연수일 때, f’(x) = nxn-1, (xc)’ = cxc-1 (c는 실수)

- 도함수의 기본공식
(1) 합과 차:{ f(x) ± g(x) }’ = f’(x) ± g’(x)
(2) 곱:{ f(x) g(x) }’ = f’(x)g(x) + f(x) g’(x), { c f(x) }’ = c f’(x) (c는 상수)
(3) 나누기:{ f(x)/g(x) }’ = { f’(x)g(x) – f(x)g’(x) } / {g(x)}2 (단, g(x)≠0 )


- 미분가능성과 연속성 : 함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하면, f(x)는 x=a에서 연속

- 합성함수의 도함수 : y=f(u), u=g(x) 미분가능하면, 합성함수 y=f(g(x))의 도함수 dy/dx = dy/du·du/dx
- 음함수의 도함수 : 음함수 f(x,y)=0의 각 항을 x에 관하여 미분
- 삼각함수의 도함수
(1) y=sin(x)일 때, y’ = cos(x)
(2) y=cos(x)일 때, y’ = - sin(x)
(3) y=tan(x)일 때, y’ = sec2(x)
- 로그함수의 미분 : (ln x)’ = 1/x
- 지수함수의 미분 : (ex)’ = ex
- (ax)’ = ax ln(a), (loga(x))’ = 1/x ln(a) (a>0, a≠0)



제6장 미분법의 응용

- 평균값 정리 : 함수 f(x)가 [a, b]에서 연속이고, (a, b)에서 미분가능할 때, f(b) = f(a)+f’(c)(b-a)인 c가 구간 안에 적어도 하나 존재한다.
- 로피탈 정리 : 함수 f(x)와 g(x)가 a를 포함하는 열린구간에서 미분가능하고 f(a)=g(a)=0 또는 ∞이면,


- f'(x)>0인 구간에서 f(x)는 증가하고, f'(x)<0인 구간에서는 f(x)는 감소한다.
- f'(a)=0, f''(a)<0 이면 x=a에서 극댓값을 가지고, f'(a)=0, f''(a)>0이면 x=a에서 극솟값을 가진다.

- f''(x) > 0인 구간에서 곡선 y=f(x)는 아래로 볼록하다.
- f''(x) < 0인 구간에서 곡선 y=f(x)은 아래로 오목하다 (위로 볼록하다).


- 곡선 y=f(x)의 오목, 볼록이 바뀌는 점을 변곡점이라고 한다.
- 방정식 f(x)=0에 대한 근사해는 아래 식으로 구해 나갈 수 있다.



제7장 적분법

- 구간 [a, b]에서 연속인 함수 f(x)에 대하여 다음이 성립한다.
- 구간 (a, b], [a, b), [a, ∞), (- ∞, b] 등에서 연속인 함수에 대한 특이적분은 닫힌구간에서의 정적분의 극한값으로 정의한다.
- 구간 (a, b]에서 연속인 함수 f에 대하여, 아래와 같이 정의할 때 좌변의 적분값을 구간 (a, b]의 특이적분이라고 한다.


- 정적분과 부정적분


- 부정적분의 기본공식


- 치환적분법


- 부분적분법


- 감마함수



제8장 정적분의 응용

- 두 곡선 사이의 넓이
- 입체의 부피 : 단면의 넓이가 S(x)일 때, 입체의 부피 V
- 회전체의 부피 V
- 속도가 v(t)인 점이 t=a에서 t=b까지 움직인 거리 S
- 곡선 x=x(t), y=y(t) (a ≤ t ≤ b)의 길이 L
- f(n)(x)가 a-h < x < a+h (h>0)에서 연속이면
(함수 f가 a를 포함하는 열린구간에서 n번 미분가능하고 n 계도함수가 연속이면)
- 테일러 급수 : 함수 f(x)를 무한급수로 나타낼 수 있는데, 이 무한급수를 함수 f의 x=a에서 테일러 급수라 한다.
- 멱급수 : 다음과 같은 꼴의 급수를 a를 중심으로 한 멱급수라고 한다.
- 멱급수의 미분과 적분 : 수렴반경이 r일 때,




제9장 행렬과 벡터

- 벡터(vector)는 크기와 방향을 갖고 있는 것이며, 스칼라(scalar)는 크기만 있는 것이다.
- 음의 벡터는 시점과 종점을 바꾸어 얻는 벡터 (- AB = BA)이며, 단위벡터는 길이가 1인 벡터, 영벡터는 길이가 0인 벡터이다.
- 벡터의 내적(inner product)는 두 벡터 a, b가 있고, 사잇각이 θ일 때, 다음과 같이 구한다
a · b = |a| |b| cos θ

- 행렬(matrix)은 수들을 직사각형 모양으로 배열한 것이다.
행(row)은 행렬의 가로줄이며, 열(column)은 행렬의 세로줄이다.
m x n 행렬은 m개의 행과 n개의 열을 가지는 행렬이다.
- 행렬의 합은 두 행렬의 크기가 같을 때, 대응하는 성분을 각각 더해서 같은 크기의 새로운 행렬을 만드는 것이다.
- 스칼라(scalar)는 단순한 수, 변수, 함수 등이다. 행렬과 스칼라의 곱은 행렬의 각 성분에 스칼라 를 곱하는 형태로 구한다.
- 행렬의 곱은 행렬 A의 열의 수와 행렬 B의 행의 수가 동일한 경우, 행렬의 곱 AB를 정의할 수 있다.
- 역행렬(inverse matrix)은 정방행렬 A에 대하여 어떤 행렬 B가 AB=BA=I를 만족시키는 경우의 행렬이다.
어떤 행렬 A가 역행렬을 가질 때, A를 정칙행렬이라고 한다.



제10장 다변수함수의 미적분

- 이변수함수의 편미분계수


- 다변수함수의 미분가능성 : 편도함수 D1f, …, Dnf가 존재하고 연속을 때


- 이변수함수의 적분 : 영역 R = [a, b] x [c, d]에서 연속인 함수 f(x, y)에 대하여


- 치환적분법과 야코비행렬 : 변환 g가 R에서 g(R)로의 일대일대응이고, Jg(u, v)일때,



Q & A

안녕하세요? 수업을 듣다가 갑자기 궁금증이 생겨서 문의드립니다.
1. 미적분은 실수의 범위에 한정되어 있나요? 아님 허수까지 확장할 수 있나요?
2-1. 실수에서만 가능하다면, 이유가 있나요?
2-2. 허수에서도 미적분이 가능하다면, 무슨 과목 또는 책을 보면 관련 내용이 나와 있나요?

답변)
기본적으로 통계수학에서 다루는 내용은 실수 범위에 중점을 두고 있습니다.
이는 실해석학 또는 실변수함수론이라고 부르는 영역이라 할 수 있겠습니다.
(실해석학은 실함수에 대한 해석함수, 극한이 포함된 수열 및 실수 수열의 극한, 실수에 대한 미적분학, 연속 함수, 평탄 함수, 실수치의 함수에 관련된 성질를 다룬다고 정의가 되어 있군요.)

이에 비하여 실수뿐만 아니라 허수부(i)가 포함된 함수의 영역을 다루는 것이 복소해석학 또는 복소변수함수론이라고 할 수 있습니다. 고등학교 이과 수학에서 '복소수'라는 개념을 익히신 분들에게는 낯설지 않은 교과목명이라 할 수 있겠습니다.

이러한 복소함수도 도함수 및 적분을 정의할 수 있습니다. 
이 내용은 수학을 전공하는 학생들이 3~4학년에 수강하는 과목입니다
시중의 복소변수 함수론, 복소해석학, 또는 complex analysis 등의 교재를 보시면 도움이 되실 것입니다.