JANGUN

선형대수

지음 : 손진곤

목차

제1장 일차연립방정식

1. 일차방정식 ax=b의 해집합은 계수 a와 상수 b의 값에 따라 유일한 해를 갖는 경우, (a≠0)해가 없는 경우(불능, a=0, b≠0), 무한개의 해를 갖는 경우(부정, a=0, b=0)로 구분된다.
2. 일차연립방정식을 풀기 위한 3가지 기본연산은 다음과 같다.
1) 두 방정식을 교환한다.
2) 한 방정식에 0인 아닌 상수를 곱한다.
3) 한 방정식에 임의의 상수를 곱하여 다른 방정식에 더한다.

3. 일차연립방정식의 기본 해법으로 가장 많이 사용되는 방법은 소거법이다.
소거법은 연립방정식의 3가지 기본연산을 이용해서 연립방정식에서 한 방정식의 원하는 미지수를 없애는 방법이다.
4. 일차연립방정식의 해집합도 일차방정식 ax=b과 마찬가지로 세 종류의 해집합, 즉 유일한 해, 부정, 불능으로 구분된다.
5. 일차연립방정식은 자연과학이나 공학, 사회과학 등 많은 응용문제들의 해를 구하는데 흔히 사용한다.

제2장 행렬과 가우스 소거법

1. 행렬이란 행과 열로 구성되는 사각형 형태로 수를 배열한 것이다.
2. 행렬의 크기는 “행 × 열”처럼 행의 개수와 열의 개수로 나타낸다.
3. 행렬을 이용하면 일차연립방정식을 확대행렬로 표현할 수 있다.
즉, 일차연립방정식은 계수행렬 A, 미지수 행렬 X, 상수행렬 B로부터 AX = B로 나타낼 수 있으며, (A|B)를 확대행렬이라고 한다.
4. 일차연립방정식에서의 3가지 기본연산은 확대행렬에 관한 기본행연산과 동일한 기능을 하며, Rij, Ri(단,a≠0), Rij(c) 등 3가지 종류가 있다.
5. 기본행연산을 이용하여 일차연립방정식의 확대행렬을 행제형 행렬 또는 소거행제형 행렬로 변환하면 일차연립방정식은 풀 수 있다.
가우스 소거법은 확대행렬을 행제형 행렬로 변환한 다음 후진대입법으로 해를 구하는 반면, 가우스-조르단 소거법은 확대행렬을 소거행제형 행렬로 변환함으로써 바로 해를 구할 수 있다.

제3장 행렬연산

1. 행렬은 수를 직사각형 형태로 나열한 것이고 특히 정사각형의 형태로 된 것을 정방행렬이라고 한다.
2. 행렬에서, 행렬 원소의 형태에 따라 대각행렬, 삼각 행렬(상삼각 행렬과 하삼각 행렬), 단위행렬 등 특별한 형태의 행렬들이 있다.
대각행렬은 정방행렬에서 모든 대각 원소들을 제외한 모든 원소가 0인 행렬이고, 단위행렬은 특별히 모든 대각 원소가 1인 대각행렬이다.
그리고 삼각 행렬은 대각원소들을 기준으로 그 상단 또는 그 하단 부분의 원소들이 모두 0인 행렬이다.

3. 수의 집합과 마찬가지로, 행렬의 집합에 대해서도 합 연산, 곱 연산을 정의할 수 있고, 특별히 스칼라곱 연산을 정의한다.
4. 행렬의 합 연산에서는 수 집합의 합 연산과 같이 교환법칙, 결합법칙이 성립하고 수 집합에서 0과 음수의 역할에 대응하는 영행렬과 음행렬이 존재한다.
5. 행렬의 곱 연산은 임의의 모든 두 행렬 A, B에 대해 정의되는 것이 아니라 A의 행의 크기와 B의 열의 크기가 같은 경우에만 두 행렬의 곱 AB가 정의된다.
수 집합의 곱 연산과는 달리 행렬의 곱 연산에서는 교환법칙이 성립하지 않는다. 그러나 행렬의 곱 연산에서도 결합 법칙은 성립한다.
6. 특별히 행렬에서는 수와 행렬의 곱을 정의해서 사용하는 데, 이러한 수와 행렬의 곱 연산을 행렬의 스칼라곱이라고 한다. 행렬의 스칼라곱 연산은 결합법칙과 배분법칙을 만족한다.
7. 행렬의 전치는 주어진 행렬의 행의 열을 서로 바꾸는 연산이다.

제4장 역행렬

1. n차 정방행렬 에 A대해 AB = BA = In을 만족하는 행렬 B가 존재할 때 A는 정칙행렬이라고 하고 B = A-1는 A의 역행렬이라고 한다.
2. A와 B가 정칙행렬이면 A^-1, AB, cA, A^T도 정칙행렬이다 (c는 영이 아닌 상수)
3. 단위행렬에 기본행연산을 한 번만 적용하여 얻은 행렬을 기본행렬이라고 하는데, 기본행연산 Rij, Ei(c), Eij(c)각각에 대응하여 기본행렬도 Rij, Ei(c), Eij(c)와 같이 세 종류가 있다.
4. 정칙행렬과 단위행렬은 행상등하므로 정칙행렬은 기본행렬의 곱으로 표현되는데,
이 개념을 이용하여 A^-1를 구하려면 확대행렬 (A|In)을 구성한 후 기본행연산을 적용하여 소거행제형 행렬 (B|C)로 변환한다.

5. B = In이면 A^-1 = C이지만 B≠I이면 A^-1는 존재하지 않는다.
6. A가 정칙행렬이면 AX = B는 A^-1AX = X = A^-1B로 해를 구할 수 있으며 AX = 0는 자명한 해만 가진다.

제5장 행렬식

1. 행렬식은 정방행렬에 대해 정의되는 개념으로 주어진 정방행렬에 실수를 대응시키는 함수이다.
정방행렬 A 의 행렬식은 |A| 또는 det A 로 나타낸다.
2. 행렬 A 의 행렬식 |A| 는 귀납적 방법으로 번째 i 행 또는 번째 i 열에 관한 여인수전개(라플라스 전개)를 이용해서 구할 수 있다.
3. 행렬의 기본행연산과 행렬식의 관련성은 < 표 5.1 >과 같이 정리할 수 있고, 이 표를 이용하면 복잡한 형태의 행렬식을 보다 쉽게 구할 수 있다.
4. 행렬의 곱, 스칼라곱, 전치 등과 같은 행렬연산과 행렬식의 관련성을 설명했는데, 특히 |AB| = |A| |B|, |cA| = cn|A|, |AT| = |A| 등 특성을 만족한다.
5. 행렬 A 가 정칙행렬이기 위한 필요충분조건은 |A|≠0 이다. 그리고 A 가 정칙행렬이면 |A^-1| = |A|^-1 이다.

제6장 크래머 공식과 역행렬

1. 행렬로 표현한 일차연립방정식 AX=B의 해를 구하는 방법으로 행렬식을 이용하는 크래머 공식은 계수행렬 A의 행렬식이 일 때 사용할 수 있고, 그 해는 다음 식으로 구한다.

즉, 주어진 일차연립방정식의 유일한 해 X의 j번째 미지수 xi계수행렬 A의 j열에 상수행렬을 열로 넣어 계산한다.


2. 역행렬은 4.2절에서 행렬의 기본행연산을 이용하여 구하는 방법 이외에 특별히 행렬식이 0이 아닌 행렬에 대해서 행렬식을 이용해서 구할 수 있다.
즉, n차 정방행렬 A에 대해 이면, A의 수반행렬 을 정의하고, 행렬 A와 그 수반행렬 adjA를 곱하면 대각성분이 모두 |A|이고 나머지 성분은 모두 0인 행렬을 얻을 수 있다.
따라서 행렬 A의 역행렬은 이 된다.


3. 행렬로 표현한 일차연립방정식 AX=B에 대해,
계수행렬 A의 행렬식이 |A| ≠ 0 이면, A의 역행렬 A^-1를 구한 후 방정식의 양변에 곱하여 해 X=A^-1B를 얻을 수 있다.
이 방법은 일차방정식 ax=b의 해를 구하는 방법과 유사하다.

4. 정리하면, 일차연립방정식 AX=B의 해는 |A| ≠ 0 이면, A의 수반행렬 adjA와 행렬식 |A|를 이용하여 역행렬을 구한 후 X=A^-1B를 계산하면 된다.

제7장 평면벡터와 공간벡터

1. R, R², R³ 공간을 확장하여 Rⁿ 공간을 정의하고 Rn 의 임의의 원소 A = (x1, x2, …, xn) 을 Rⁿ 공간벡터로 정의하면, R² 및 R³ 공간에서와 동일하게 Rn 공간에서도 벡터의 크기, 실수와 벡터의 곱, 벡터의 덧셈 등을 정의되고 교환법칙, 결합법칙, 배분법칙 등의 성질들이 성립한다.

2. Rn 공간에서 두 벡터 A = (a1, a2, …, an), B = (b1, b2, …, bn) 의 내적은 A·B = a1b1 + a2b2 + … + anbn 로 정의되는데,
A·A = │A│² 이 되고, 특히 R³ 공간에서의 두 벡터 사이의 각을 θ 이라고 하면, A·B = │A│·│B│cosθ 이다.
벡터 A와 벡터 B가 수직이면 A·B = 0 이고, 그 역도 성립한다.

3. Rⁿ 공간에서 두 벡터의 사이각을 θ 라 하면,


4. Rn 공간에서 두 벡터의 외적은 주어진 두 벡터에 수직인 두 방향의 벡터들 중에서 오른손법칙에 의해서 지정된 벡터로 정의한다. 벡터의 외적은 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않는다.

5. R3 공간에서 외적을 이용하면 평행육면체의 부피는 │(A x B)·C│ = ││A x B││C│cosθ│ 로 계산되며, 이 값은 행렬식으로 구할 수 있다.

6. R3 공간에서 벡터 A = (a, b, c) 에 수직이고 R3 공간의 한 점 P = (x1, y1, z1) 를 지나는 평면의 벡터방정식은 A·(X - P) = 0 이고, 이의 성분표현은 a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0 이다.

7. 참고로 벡터를 이용하여 R3 공간 직선에 대한 벡터방정식을 구하는 방법을 설명했는데, 정리하면 다음과 같다.
① R3 공간의 두 벡터 A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2)의 끝점을 지나는 직선의 벡터방정식은 C - A = k(B-A)이고, 이 방정식의 성분 표현은 다음과 같다.

② R3 공간의 한 벡터 A = (x2, y2, z2)에 평행하고 한 점 B = (x1, y1, z1)을 지나는 직선의 벡터방정식은 C = B + kA 이고, 이 방정식의 성분 표현은 다음과 같다.

제8장 벡터공간

1. 체는 실수의 성질을 확장한 개념으로, 덧셈과 곱셈연산에 대해 닫혀 있으면서 실수 집합에서와 유사한 특성들을 만족하는 원소들의 집합이다.
(즉, 덧셈과 곱셈 두 연산에 대한 교환법칙 및 결합법칙, 배분법칙의 성립, 항등원(0, 1) 및 역원(-k, k^-1)의 존재) 
체의 원소를 스칼라라고 한다.

2. 유리수 집합과 실수 집합은 대표적인 체의 예이고, 그 이외에도 많은 체들이 존재한다.
3. 체는 벡터공간에서 벡터의 스칼라곱 연산의 정의를 위해 필요하다. 즉, 모든 벡터공간은 특정의 체 위에서 정의된다.
4. 벡터공간에서는 두 벡터의 덧셈과 벡터의 스칼라곱 연산만 정의되고, 두 벡터의 곱 연산은 일반적으로 정의되지 않는다.
5. 대부분의 벡터공간은 실수 체 위에서 정의된다. 다음은 실수 체 위에서 정의되는 벡터공간의 예들이다. 
1) 실수 성분으로 된 mxn 행렬들의 집합 
2) 실수에서 정의된 다항식들의 집합

3) 정의구역이 실수인 연속함수들의 집합
4) 체 F2 에서 m 이하 차수 다항식들의 집합

6. 부분공간은 벡터공간의 부분집합으로, 그 자기 또한, 벡터공간이다. 벡터공간의 부분집합이 벡터공간에서 정의된 두 연산 즉, 벡터 합 연산과 스칼라곱 연산에 대해 닫혀 있으면 부분공간이 된다. 
즉, 부분공간 S는 다음 두 조건을 만족한다. 
(1) A,B∈S 이면 A+B∈S 이다.
(2) A∈S 와 k∈F에 대해서 k·A∈S 가 성립한다.

제9장 기저와 차원

1. 벡터공간 V의 원소 A1, A2, …, An에 대해, 모든 일차결합들의 집합은 부분공간이다.
S = {k1A1 + k2A2 + … + knAn : k1, k2, …, kn∈ R}
2. 벡터공간에서 n개의 벡터들이 일차종속이기 위한 필요충분조건은 어떤 한 벡터를 나머지 n-1개의 벡터들의 일차결합으로 나타낼 수 있다는 것이다.

3. 벡터공간 Rn에서 n개이 벡터들이 일차독립일 필요충분조건은 다음과 같다.
│A1 A2 … An│ ≠ 0

4. 벡터공간 V에서 0아닌 n개의 벡터들 A1, A2, …, An이 일차독립이고, V의 임의의 원소들이 A1, A2, …, An의 일차결합으로 표현될 때,
벡터들의 집합 {A1, A2, …, An}을 벡터공간 V의 기저라고 하고, 기저를 구성하는 벡터의 개수 n을 V의 차원이라고 한다.

5. 벡터공간에서 기저는 유일하게 존재하는 것이 아니라 많이 존재할 수 있다.
그러나 서로 다른 두 기저를 구성하는 벡터의 개수는 항상 동일하다. 즉, 벡터공간의 차원은 항상 일정하다.
6. 이 장에서 설명한 기저와 일차독립의 개념을 통해 벡터공간 Rn의 차원이 n임도 확인할 수 있다.

제10장 선형변환

1. 벡터공간 V에서 벡터공간 W로의 사상 T가 V의 임의의 벡터 A, B와 실수체의 임의의 원소 k에 대해, 다음 두 성질을 만족할 때, T를 선형변환이라고 한다.
① T(A+B) = T(A)+T(B)
② T(kA) = kT(A)

2. T가 R^m에서 Rⁿ으로의 선형변환이면, T에 대응하는 n x m행렬M은 M = (T(E1)T(E2)…T(Em))으로 구할 수 있다.
따라서 R^m에서 Rⁿ으로의 선형변환의 성질은 행렬 M으로부터 쉽게 구할 수 있다.

3. 벡터공간 V에서 벡터공간 W로의 선형변환 T는 V의 벡터들의 일차결합을 각 벡터의 상 (W의 벡터)들의 일차결합으로 사상시킨다.
즉, T(k1A1 + k2A2 + … + knAn) = k1T(A1) + k2T(A2) + … + knT(An)이다.
이것은 벡터공간 V의 기저에 대한 상을 알면, V의 모든 원소의 상을 알 수 있음을 의미한다.

4. 일반적으로 벡터공간 V에서 벡터공간 W로의 선형변환 T는 V에서 일차독립인 벡터들을 W의 일차독립인 벡터들로 사상하지 않지만, Ker(T) = {O}일 경우에는 일차독립인 벡터들로 사상시킨다.
그리고 Ker(T) = {O}이면, T는 단사이므로 벡터공간 V의 기저를 T에 의해 사상시키면 Im(T)는 벡터공간 W의 기저이다.
그리고 dimV = dimIm(T) + dimKer(T)가 성립한다.

5. 선형변환 T가 Rm에서 Rn으로의 선형변환이고, 이 선형변환 T에 대응하는 행렬을 M = (T(E1)T(E2)…T(Em))이라고 하면, T(Rm)의 차원은 행렬 M의 위수와 같다.
즉, dimKer(T) = m-(행렬 M의 위수) 이다.

6. 선형변환 T가 단사이면 Ker(T) = {O}이고, 그 역도 성립한다.
임의의 두 벡터공간 V, W에 대해 dim V = dim W이면, 두 벡터공간 사이의 선형변환이 단사라는 특성과 전사라는 특성은 동치이다.

제11장 선형변환과 행렬

1. 벡터공간에서 한 기저를 선택하면, 벡터공간의 모든 벡터는 선택한 기저들의 일차결합으로 유일하게 표시된다. 이 사실을 이용하면 벡터공간에서의 좌표를 일차결합의 계수로 정의할 수 있다.
2. Ã = {A1, A2, …, An}를 벡터공간 V의 기저라고 하고, 벡터공간 V의 임의의 원소 C가 C = k1A1+k2A2+ … + knAn으로 표시된다면, 기저 Ã로 표현한 C의 좌표는 다음과 같이 정의한다.
C의 좌표 = (k1, k2, …, kn)Ã

3. 벡터공간에 좌표계를 정의하면, 이 벡터공간에서의 선형변환 T에 대응하는 행렬을 구할 수 있고, 따라서 모든 계산을 행렬의 계산으로 해낼 수 있다.
다만, V의 기저 선택에 따라 선형변환 T에 대응되는 행렬표현이 다르므로 선형변환 T의 행렬 표현은 기저도 함께 표현해 주어야 한다.
4. T를 벡터공간 V에서 W로의 사상이라고 하고 벡터공간 V의 기저를 Ã = {A1, A2, …, An}, 벡터공간 W의 기저를 B = {B1, B2, …, Bm}이라 하면, 사상 T에 의한 기저 Ã의 상을 기저 B로 표현한 행렬은 다음과 같이 정의된다.


5. 벡터공간 V에서 벡터공간 V로의 선형변환 T의 행렬들은 항등변환의 행렬인 기저변환행렬을 이용하면, 인 관계가 성립한다.

제12장 고유값과 고유벡터

1. 벡터공간 V에서 정의되는 선형변환 T는 대응하는 행렬표현 M을 가진다. 이 행렬 M(즉, 선형변환 T)에 의해 V의 벡터들은 다양한 방향과 크기로 변환가능하다.
그러나 벡터공간 V에서 어떤 특징의 벡터들은 이 행렬 M에 의해 같은 방향이나 정반대 방향으로만 변환이 가능하게 되는데, 행렬 M의 고유값과 고유벡터는 이러한 벡터들에 대해 필요한 개념이다.

2. 벡터공간 V에서 정의되는 선형변환 T에 대응하는 행렬을 M이라 하자.
행렬 M에 대해 MA = λA를 만족하는 벡터 A(≠0)와 실수 λ가 존재할 때, λ를 M의 고유값(eigenvalue)이라고 하고, A를 λ에 대응하는 M의 고유벡터(eigenvector)라 한다.

3. 행렬 M의 고유값 λ는 특성방정식 │M-λI│ = 0으로 구할 수 있고, 이 특성방정식의 근 λ에 대해 (M-λI)A = 0인 동형방정식의 근 A를 구하면 A는 λ에 대응하는 고유벡터가 된다.

4. 고유값 λ에 대응하는 고유벡터들은 행렬 M와 λ에 따라 일차독립인지 아니면 일차종속인지가 결정된다.
그리고 이러한 고유벡터들과 영벡터 0로 구성되는 집합은 V의 부분공간이 되는데, 이를 고유공간이라고 한다.

제13장 행렬의 대각화

1. n x n행렬 M이 대각화가 가능하다는 것은, n x n 정칙행렬 P와 n x n 대각행렬 D가 존재하여 M=PDP-1로 나타낼 수 있음을 의미한다.


2. 정방행렬이 모두 대각화 가능하지는 않다. (실제로 대부분 대각화가 안된다고 보는 것이 좋다.)
그러나 행렬 M이 서로 일차독립인 n개의 고유벡터를 가지면, 행렬 M은 대각화 가능하다. (정리 13.1)
즉, 행렬 M의 고유값 λ1, λ2, …, λn에 대응하는 서로 일차독립인 고유벡터를 A1, A2, …, An이라고 하면 정칙행렬 P가 존재하여 다음을 만족한다.

3. M이 대각화 가능하다면, 서로 일차독립인 고유벡터를 가진다. (정리 17.2)
즉, λ1, λ2, …, λn을 대각성분으로 갖는 대각행렬 D에 대해 M=PDP-1이면 P의 i열벡터는 λi에 대응하는 서로 일차독립인 고유벡터들이다.

4. 행렬의 대각화의 응용 예로는 다음과 같이 정의되는 피보나치 수열 (Fibonacci sequence)문제가 있다.
a_n = a_n-1 + a_n-2 (n≥2), a0 = a1 = 1
피보나치 수열의 일반항 an을 행렬의 대각화를 이용하여 구하면 다음과 같다.

제14장 내적공간과 직교벡터

1. 내적공간 {V, <, > }은 일반적인 벡터공간 V에 내적을 정의한 공간이다.
내적을 이용하면, 내적공간에서 두 벡터 사이의 각을 구할 수 있다. 직교벡터들은 서로 수직인 벡터들이다.

2. 0 이 아닌 직교벡터들로 구성되는 직교집합은 항상 일차독립이다.
또한, U가 내적공간 V의 부분공간일 때 U와 직교한 모든 벡터들의 집합으로 정의되는 직교보공간 U⊥은 V의 부분공간이다.

3. 역행렬과 전치행렬이 같은 행렬 즉, M^-1 = MT을 만족하는 행렬 M을 직교행렬이라 한다.
행렬 M의 열벡터 또는 행벡터들이 크기가 1인 단위직교벡터들이면 M은 직교행렬이고 그 역도 성립한다.

4. 2x2 직교행렬은 회전변환과 대칭변환에 대응하는 행렬만이 존재한다. 그리고 nxn 대칭행렬은 직교행렬에 의해 대각화된다.

5. 내적공간 {V, <, > }에서의 선형변환 T가 벡터의 크기를 보존한다면 즉, 모든 벡터 A에 대해 ||T(A)||=||A|| 이면 T를 직교변환이라고 한다.
벡터공간 R², R³ 에서 회전변환과 대칭변환은 직교변환이다.

6. 내적공간 {V, <, > }에서 내적공간 {W, <, > }로의 선형변환 T에 대해 다음은 서로 동치이다.
① T가 직교변환이다.
② V의 임의의 모든 벡터 A,B 에 대해 < T(A),T(B)> = < A,B > 이다.
③ V의 단위직교기저 에 대해, {T(A1), T(A2), ... T(An)}은 W에서 단위직교집합이다.
④ 단위직교기저에 의한 T의 대응 행렬 M은 M^TM = I 를 만족한다

제15장 직교화 과정과 최소자승법

1. 내적공간 {V, <, > } 에서 {A1, A2, ..., Ak}이 직교기저라고 하면, V의 임의의 벡터 B는 다음과 같이B와 Ai들의 일차결합으로 나타낼 수 있다.


2. 그램-슈미트(Gram-Schmidt) 방법은 내적공간에서 직교기저를 구하는 방법으로, 내적공간 V의 부분공간 U에서 임의의 기저로부터 직교기저를 구할 수 있다.

3. 즉, {A1, A2, ..., Ak}가 내적공간 {V, <, > }의 부분공간 U의 기저이면 일 때, (여기서,) 1 ≤ i ≤ k 으로 정의된 {B1, B2, ..., Bk}는 부분공간 U의 직교기저가 된다.
그리고 이 직교기저를 정규화하면 단위직교기저로 만들 수 있고, 따라서 부분공간 U는 단위직교기저를 갖는다.

4. 내적공간 V가 단위직교기저를 가지면, V는 V의 부분공간 U와 U의 직교보공간의 직합 V = U ⊕ U⊥ 으로 나타낼 수 있다.

5. W가 내적공간 V의 부분공간이고 A가 V의 임의의 한 벡터라고 할 때, 벡터 A에 대한 V의 부분공간 W로의 정사영벡터 Aw는 부분공간 W에서 벡터 A와 가장 가까운 거리에 있는 벡터이고, 벡터 A는A = Aw + A⊥ (단, Aw∈ W, A⊥∈ W⊥) 으로 유일하게 표현된다.

6. 정사영벡터의 특성을 이용하여 해가 존재하지 않는 연립방정식의 최소자승해 즉, 오차를 최소로 하는 가장 가까운 해를 구할 수 있다.
M이 mxn행렬이고 A∈R^m일 때, 모든 B∈Rn에 대하여 수식을 만족하는 수식은 방정식 MB=A의 최소자승해가 된다.


7. 주어진 연립방정식에 대한 정규방정식 M^TMB = M^TA를 이용하면 구체적인 방정식의 최소자승해를 구할 수 있고, 특히 mxn 행렬 M의 위수가 n일 때 MB=A의 최소자승해는 수식 이다.