JANGUN


수학의 이해


목차

제1장 수학의 여명기부터 고대 그리스 수학까지
제2장 중세시대부터 라이프니츠까지의 수학
제3장 증명이란 무엇인가?
제4장 방정식론과 작도
제5장 평면 기하학과 좌표계
제6장 연속함수와 극값
제7장 미분과 적분



제1장 수학의 여명기부터 고대 그리스 수학까지

고대 그리스 이전의 수학
- 선사시대, 고대 마야, 고대 중국, 고대 인도, 고대 이집트 수학 : 메소포타미아 수학 :
- 진법 (10, 20, 60 진법), 0의 개념, 중국의 주판, 피타고라스 정리, 원주율, 기하학, 곱하기 나누기 분수, 천문학, 점성술, 대수학

고대 그리스 수학 : 기원전 7,6세기 ~ 서기 5세기 (이오니아식 자연철학, 헬레니즘 시대)
- 이오니아식 자연 철학 ( ~ BC 350 경) : 원자론, 우주론, 인식론, 미학 등에 관한 철학적 논리학, 수학적 논리
- 피타고라스 (BC 580~BC 500) : 범 우주적 연산론, 유리수에 집착, 기하학

헬레니즘 시대 : (BC 323 ~ BC 146)
- 고대 그리스 수학의 절정기,
- 현대 수학의 이론적 바탕이 되는 대부분의 수학적 논리들이 형성
- 유클리드 (BC 340 ~ BC 270) : 원론의 저자 (수학 이론들을 체계적으로 정리, 가정과 정의, 공리 시스템), 기하학 5 공리
- 아르키메데스(BC 287 ~ BC 212) : 현대 공학의 아버지, 실험적 통계적 방법을 중시, 현대 적분학의 시조


제2장 중세시대부터 라이프니츠까지의 수학

중세 시대 (5세기 ~ 15세기)
- 이슬람 : 8세기, 프랑스와 중국의 국경까지 뻗어나간 세계 제국, 수학, 과학, 천문학의 발전
- 중세 유럽 : 종교 외의 문화적, 과학적 수준은 저급 (수학, 과학에 대한 기독교 거부)
- 피보나치 (1170 ~ 1240) : 피보나치 수열, ‘주판에 관한 책'을 저술하여 인도식 계산법을 유럽에 소개

르네상스 시대 (15 ~ 17세기) : 고대 문화의 재발견
- 사회적인 내적 갈등, 봉건주의의 붕괴, 수 많은 전쟁(종교, 시민, 국가 간), 가내수공업의 기술적 발전 (경제 규모 확대)
- 조선술, 향해술과 천문학의 발달 -> 식민지 시대
- 잦은 전쟁 -> 포병 장교들의 정확한 계산 필요 (미적분)
- 수학(삼각함수, 로그함수), 과학 발전 : 천동설 -> 지동설
- 예술의 대변혁 시기, 건축학의 탄생
- 카르다노(1501~1576), 타탈리아(1500~1557) : 3차 방정식 근의 공식

이성주의 시대 (1620~1740)
- 모든 현상을 이성적 관점으로 재조명,
- 계몽주의 : 시민 계급의 각성, 봉건 계급과의 대결
- 현재의 자연과학에 존재하는 대부분의 이론이 탄생 (만유인력 법칙, 자동차, 잠수함, 비행기 등)
- 베이컨의 ‘아는 것이 힘이다‘
- 페르마(1601~1665) : 현대수학의 시조, 수론 해석기하학의 창시, 페르마의 정리, 페르마의 소수 공식
- 라이프니츠(1646~1716) : 수학자, 철학자, 미분학의 창시자


제3장 증명이란 무엇인가?

명제(statement)란 참 또는 거짓 어느 하나지만 둘 다는 아닌 문장
조건문 : 두 명제 A와 B에 대하여, A가 참이면 B도 참이다.
- B가 참인지 밝히기 어렵지만, A가 참임을 비교적 쉽게 밝힐 수 있을 때 유용하다.
- A : 가정(hypothesis), B : conclusion : A ⇒ B
- 진리표 활용

정의 (definition) : 특정 용어의 의미에 대해 모든 이해 관계인들이 동의한 것
정리 (theorem) : 기초 정리, 보조 정리, 따름 정리
공리 (axiom) : 형식적인 증명 없이 받아들이는 명제

직접증명법과 간접증명법

수학적 귀납법
- 귀납법 : (베이컨) 경험적 관찰과 실험으로 지식을 획득하는 방법, 경험론의 기초
- 수학적 귀납법 : (페이노) 귀납법적 사고와 보편적 공리 속에서 논리적 사고로 또 다른 지식을 추론해 내는 연역적 사고의 장단점을 잘 보완해서 생긴 증명법
- 양의 정수 n에 관한 명제 p(n)에 대하여 p(1) 참이고, p(n)이 참이면, p(n+1)도 참이다. (이때 모든 양의 정수 n에 대하여 p(n)은 참이다)

귀류법
- 간접증명법 : 가정에서 결론을 직접 유도하기가 어려운 명제를 증명할 때 사용
- 귀류법 : 결론을 부정하면 모순이 생긴다는 것을 보임으로써 그 결론이 옳음을 증명하는 방법

절대부등식
- 어떤 실수에 대해서도 항상 성립하는 부등식

- 산술평균 ≥ 기하평균 ≥ 조화평균

- 코시-슈바르츠 부등식


피타고라스 정리 : 직각삼각형의 빗변의 길이의 제곱은 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다
- 20세기 초까지 밝혀진 증명이 370가지에 이름


제4장 방정식론과 작도

방정식
- 고대부터 미지수를 이용한 방정식을 만들고, 이 식의 해를 구함으로써 문제를 해결하고자 함
- 복잡한 상황도 몇 개의 방정식으로 간단하게 표현할 수 있음
- 방정식은 여러 가지 경로로 번잡하게 엉클어져 있는 것을 서로 비교하여 일정한 규칙(식)으로 정리한다는 뜻
- 1, 2, 3차 방정식의 근의 공식

가우스 (1736 ~ 1813) : 대수학의 기본정리를 비롯하여 정수론, 천문학, 전자기학, 해석학, 최소자승법, 미분기하학 등에서 큰 업적을 남겼다.
-‘수학은 과학의 여왕이고, 정수론은 수학의 여왕이다'
라그랑주(1736 ~ 1813) : 근들의 순서에 어떤 치환을 시행했을 때의 불변식을 연구하는 데서 치환군의 개념을 얻음
아벨 (1802 ~ 1829) :
갈루아 (1811 ~ 1832)

수의 체계
체(Field)의 정의 :


작도 :
- 측량의 필요에서 비롯된 기하학은 종이 위의 측량으로서 작도가 관심
- 작도의 도구로서는 눈금 없는 자와 컴퍼스만 사용
- 자로 두 점을 연결, 두 직선의 교점, 한 점을 중심으로 하고 주어진 반지름을 갖는 원, 원과 직선의 교점
- 선분의 수직이등분선, 평행선, 각의 이등분석
- 정다각형의 작도
- 3대 작도 문제 : 임의의 각의 3등분, 임의의 정육면체의 2배 체적 정육면제, 주어진 원과 같은 면적의 정사각형


제5장 평면 기하학과 좌표계

고대의 기하학 : 작도
- 건축 : 90도를 정확히 작도하는 것이 중요하다
- 마스케로니(이탈리아) : 자와 컴퍼스로 가능한 모든 기하학적 작도는 컴퍼스 만으로도 작도 가능하다

해석기하학
- 기하학적 대상에 좌표라는 수를 덧붙여 기하학적인 대상의 특징을 규정
- 실직선 : 직원 위의 각 점이 실수인 직선
- 직선 위의 한 점 O(원점)를 고정하고 직선의 방향을 결정
- 좌표계
- 내분과 외분점
- 삼각형의 무게중심

원뿔곡선
- 포물선 : 한 직선과 한 점에 이르는 거리가 같은 점들의 자취
- 쌍곡선 : 두 점에 이르는 거리의 차가 일정한 점들의 자취
- 타원 : 두 점에 이르는 거리의 합이 일정한 점들의 자취



파스칼 (1623 ~1662) : 파스칼의 정리


제6장 연속함수와 극값

함수
- 관계 : 두 집합의 곱집합의 한 부분집합
- 함수 : A의 한 원소 a마다 B의 한 원소 b만을 대응시켜주는 관계
- 용어 : 상[b=f(a)], 독립변수(a), 종속변수(b)
- 1~n차 함수, 다항함수, 유리함수, 무리함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수
- 함수의 사칙연산과 합성
- 역함수 (일대일함수, 전사함수, 단사함수)

수열
- 정의역이 자연수의 집합이고, 공변역이 실수인 함수
- 수열의 극한 : 수렴, 발산
- 극한의 엄밀한 정의 :

- 증가수열 ~ 위로 유계 / 단조수열 ~ 아래로 유계
- 자연상수 e (오일러수, 무리수)


π 관련 공식 :


함수의 극한과 연속함수



제7장 미분과 적분

미적분학의 정립
- 곡선 사이의 면적 구하기로 부터 적분학 발전
- 곡선의 접선을 구하는 문제에서 미분학 발전
- 뉴턴과 라이프니츠는 두 문제 사이의 연관성을 명확히 규정
- 앞선 학자들인 갈릴레오, 케플러 등의 연구를 계승하여 뉴튼과 라이프니츠가 만듦
- 뉴턴은 저서 ‘프린키피아’에서 미적분학의 방법을 이용하여 많은 창의적 결과를 얻음
- 라이프니츠는 획기적인 기호표기 방법 이용

적분학
- 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이, 원판의 넓이, 포물선과 직선이 만나 생긴 부분의 넓이
- 다각형으로 이루어진 어림 영역의 넓이 계산하여 근사값을 구함
- 구분구적법과 정적분
- 적분공식, 치환법칙, 부등식 형태의 규칙


미분
- 적분은 고대에서부터 시작된 반면에 도함수는 17세기에서야 체계적 연구 수행
- 접선 개념 : 기울기로서의 도함수
- 삼각함수, 지수, 로그함수의 도함수
- 미분가능한 함수는 연속이다
- 2계도함수의 기하학적 의미 : 위 또는 아래로 오목, 변곡점, 극대와 극소
- 합, 곱, 몫의 미분법
- 역함수의 미분법
- 합성함수의 미분법 : 연쇄법칙