JANGUN


수학사


목차

요약
1. 초기의 수학
2. 그리스 수학
3. 인도와 아라비아 수학
4. 6~16세기 수학
5. 17세기 수학 - 근대 수학의 여명기
6. 18세기 수학
7. 19세기 초반 수학
8. 19세기 후반 수학
9. 20세기 수학
수학자들


요약

1. 초기의 수학(~B.C 1000)
(1) 바빌로니아(=메소포타미아)수학 - B.C4000
(2) 이집트 수학 - B.C 3000

2. 그리스 수학-논증 수학의 탄생
(1) 유클리드 이전의 그리스 수학 (B.C 1000-B.C300) : 탈레스 (논증 수학의 기초 확립), 피타고라스 학파 (정다면체의 발견, 황금 분할)
(2) 유클리드와 그 이후의 그리스 수학(B.C 300-A.D 0) : 유클리드와 「기하학 원론」 - 공리주의 방법을 최초로 도입

3. 인도와 아라비아 수학
(1) 인도의 수학 - 0의 발견, 아라비아 숫자의 발견
(2) 아라비아 수학 - 삼각법에 관한 연구.

4. 6세기에서 16세기까지의 유럽 수학 - 수학을 학문이 아닌 실용적인 측면에서 연구
(1) 13세기 : 피보나치 「산반서」- 인도, 아라비아 계산술의 우수성 인식, 수열 「실용 기하학」 : 기하학과 삼각법

5. 17세기의 수학 - 근대 수학의 여명기, 갈릴레오의 역학과 케플러의 행성의 운동법칙
(1) 네이피어(로그), 파스칼(사영 기하학)
(2) 데카르트와 페르마 : 좌표법을 이용
(3) 미적분학의 발견 : 뉴턴과 라이프니츠가 각각 독립적으로 발견 (해석기하학의 도움)

6. 18세기의 수학 - 미적분학의 발전. (삼각법, 해석기하학, 정수론, 방정식론, 확률론, 미분방정식의 발전, 형식주의의 추구)
(1) 베르누이, 드 무아브르, 테일러 (테일러 급수), 오일러, 달랑베르, 람베르트, 라그랑즈, 라플라스, 르장드르, 카르노

7. 19세기 초반의 수학 - 기하학, 대수학의 발전, 수열의 극한, 급수의 수렴성, 함수의 정의와 연속성의 개념
(1) 가우스, 푸리에, 코시, 아벨, 갈로아, 디리클레,
(2) 비유클리드 기하학 : 사케리, 로바체프스키, 보요이, 리만

8. 19세기 후반의 수학 - 수학의 엄밀성 확립. 해석학의 산술화
(1) 3대각도 불능문제의 해결 - 해석기하학의 도움.
(2) 퐁슬레, 플뤼커, 클라인, 바이어 슈크라스, 데데킨트, 칸토르, 크로네터, 프왕카레, 네더

9. 20세기와 수학의 추상화 - 주제에 관한 논리적 기초와 구조의 검증
(1) 공리론 탄생. 집합론의 모순성에 관한 연구. 추상 공간의 발견(프레세). 수학의 방법론 연구)




1. 초기의 수학 (~B.C 1000)

(1) 바빌로니아(=메소포타미아)수학-B.C4000
(2) 이집트 수학-B.C 3000


2. 그리스 수학 - 논증 수학의 탄생

(1) 유클리드 이전의 그리스 수학(B.C 1000-B.C300)
① 탈레스-논증 수학의 기초 확립.
② 피타고라스 학파 -의 발전, 피타고라스의 정리. 정다면체의 발견, 정수론에의 업적. 황금 분할
③ 3대 작도 불능 문제와 소피스트 제논의 역설
ⅰ)각 3등분 문제 ⅱ)원적 문제 ⅲ)입방배적 문제
④ 플라톤 학파-플라톤(수학을 방법론적으로 정리)과 유독 소스(착출법과 유독 소스의 공식)

(2) 유클리드와 그 이후의 그리스 수학(B.C 300-A.D 0)
① 유클리드와 「기하학 원론」-공리주의 방법을 최초로 도입
② 아르키메데스-원과 구에 관한 연구
③ 에라토스테네스와 ‘체’-자연수 n보다 작은 소수를 모두 찾는 방법의 발견
④ 아폴로니우스의「원뿔곡선론」-포물선, 타원, 쌍곡선 등의 용어 최초 사용
* 원뿔 곡선에 관한 최초의 엄밀한 정의는 메나이크모스가 함.
⑤ 그리스 삼각법-구면 삼각법, 히파르쿠스(창시자?), 메넬라우스, 프톨레마이오스
⑥ 헤론-헤론의 공식
⑦ 디오판투스와 「산학」- 부정 방정식(=디오찬토스 방정식)의 연구


3. 인도와 아라비아 수학

(1) 인도의 수학-0의 발견, 아라비아 숫자의 발견, 바스카라
(2) 아라비아 수학-삼각법에 관한 연구. 알 화리즈미


4. 6~16세기 수학

(1) 6세기에서 11세기에 이르는 암흑시대-수학을 학문이 아닌 실용적인 측면에서 연구
(2) 12세기의 전파 시대-그리스 수학과 인도의 사학이 아라비아인들에 의해전파됨
(3) 13세기와 피보나치
①「산반서」-산술과 조등대수(인도, 아라비아 계산술의 우수성 인식), 수열
②「실용 기하학」-기하학과 삼각법(유클리드적 엄밀함과 약간의 독창성)
(4) 14세기와 니콜오렘-현대 좌표 기하학의 전조(점을 좌표로 표현), 데카르트에 영향.
(5) 15세기와 레기오몬타누스(요한뮐러)-평면 및 구면 삼각법에 관한 유럽 최초의 해설
(6) 16세기와 비에트-기호 대수의 창시와 발전 「해석학 서설」


5. 17세기 수학 -근대 수학의 여명기

* 미적분학의 발견, 해석기하학 창시 로그의 도입
(1) 네이피어와 로그의 발견-을 밑으로 하는 로그의 창시(기하학적 방법)
① 뷔르기-를 밑으로 하는 자연 로그의 고안(대수적 방법)
② 브리그즈- 10을 밑으로 하는 상용로그의 고안

(2) 해이엇과 오트레드-대수의 기호차와 체계화
① 해리엇-부등호(>,<)기호 고안
② 오트레드-곱셈 기호(×), 차기호(~)고안
*+,-:위드만(1489), √;루돌프(1525), =;레코드, ÷;란(1659)
미지수 ; 비에트, 소수점 기호 ; 스테빈(10진법의 체계 완성)

(3) 갈릴레오의 역학과 케플러의 행성의 운동법칙

(4) 파스칼과 사영 기하학의 발견-좌표의 미사용, 데자르그의 정리와 파푸스정리가 기본임.

(5) 해석기하학의 발견-데카르트와 페르마가 좌표법을 이용하여 기하학의 문제를 대수적으로 해결하면서 창시. 18C 오일러에 의해 발전됨.
① 데카르트
-「방법서설」진리 탐구의 보편적 방법 추구(수학이 절대적 진리임을 전제)
- 곡선을 점의 집단이 아니라 점의 운동으로 파악(점의 자취의 방정식의 문제)
② 페르마-현대 정수론의 실질적인 창시자. 대수적 방정식에 의해 정의된 새로운 곡선을 제안. 페르마의 쌍곡선, 포물선, 나선
ⅰ) 페르마의 소정리-p가 소수이고 a와 p가 서로소이면, ap-1은 p로 나누어진다.
ⅱ) 페르마의 대정리(=마지막 정리)- n > 2일 때 xn+yn=zn을 만족하는 양의 정수 x,y,z은 존재하지 않는다.
(*) 쿠머의 연구와 컴퓨터를 이용하여 현재 n < 100000인 모든 n및 다른 여러 특별한 에 대해서도 성립함이 알려져 있다.

(6) 호이겐스와 확률론-수학적 기대값의 개념 소개

(7) 미적분학의 발견 - 뉴우튼과 라이프니츠가 각각 독립적으로 발견(해석기하학의 도움)
① 미분법의 기원 - 페르마와 데카르트의 곡선 위의 점에서의 점선의 문제에서 유래
② 적분법의 기원 - 카발리에리의 불가분량법(면적, 체적을 계산하는데 유용한 2가지 원리)
* 그리스 시대의 제논의 역설, 유독 소스의 착출법(실진법, 짜내기법).
* 아르키메데스의 평형법등이 현대 수학의 극한법의 기원이며 오늘날의 미적분학에 중요한 기초를 제공했음은 두말 할 나위가 없다.
③ 월리스 -「무한의 수론」, 데카르트와 카발리에리 방법의 체계화. 적분론에의 공헌. 무한대 기호(∞)최초 도입.
④ 배로 -「기하학 강의」곡선의 점선의 작도에 현대적인 미분법과 매우 흡사한 방법 이용, 미분론에의 공헌, 미분과 적분의 역산 관계를 최초로 인식.
⑤ 뉴우튼
-「프린카피아」, 일반화된 이항정리. 미분학으로 알려진 유율법의 창시.
- 미분방정식(미적분학의 기본정리)에의 연구 등 수학의 모든 분야에서 탁월한 업적.
⑥ 라이프니츠
-「일반특성」. 미분과 적분의 현대적 기호 창안.
- 카발리에리의 불가분량의 합을 나타내는 라틴어 summa의 s를 길게 늘어 현재의 적분기호사용.


6. 18세기 수학 - 미적분학의 발전

* 삼각법, 해석기하학, 정수론, 방정식론, 확률론, 미분방정식의 발전, 형식주의의 추구

(1) 베르누이
- 극좌표의 최초사용.
- 베르누이 분포, 정리(확률론,통계학), 방정식(미분방정식). 다항식(정수론),수, 연수형(미적분학)
* 라이프니츠와 함께 적분이란 용어를 최초 사용. 「추측술」

(2) 드 무아브르
- 확률론, 통계학, 해석적 삼각법에 기여. 드무아브르의 공식
- 확률적분과 정규 도수 곡선 을 처음 취급.

(3) 테일러 - 테일러 급수.
(후에 오일러가 미분법에 적용. 라그랑누가 임여량을 첨 가하여 만든 급수로 사용)

(4) 매클로린 - 매클로린 급수. 뉴튼의 유율법에 관한 최초의 논리적이고 체계적인 해설을 줌.

(5) 오일러
- 오일러 공식 고안,

- 방정식론, 수론, 미분방정식, 미적분학등 수학의 모든 분야에서 업적과 집필.
- 18C의 형식주의 즉, 수렴성. 음수에 대한 로그의 계산.

(6) 클레로 - 미분방정식론, 특이해의 연구. 클레로의 미분방정식.

(7) 달랑베르 - 편미분방정식론의 개척자. 해석학의 기초에 관한 연구(극한이론), 달랑베르의 판정법

(8) 람베르트 - 무리수임을 최초로 엄밀하게 증명.
- 쌍곡선 함수이론에 대한 최초의 체계화. 함수의 현대적 표기법 고안.
- 유클리드의 평행선 공준 고찰(비유클리드 기하학 발견의 선구자)

(9) 라그랑즈
-「미분의 원리를 포함하는 해석 함수론」. 해석학의 기초를 튼튼히 하기 위해 미적분학의 엄밀성을 추구한 최초의 수학자.
- 실변수 함수 이론의 개척. 정수론과 방정식론에 기여. 라그랑즈의 정리.

(10) 라플라스
- 확률론, 미분방정식론에의 지대한 공헌.
- “수학은 단지 자연현상을 설명하는데 사용하는 하나의 도구이며 결국 확률론은 수로 표현된 상식에 불과하다.”

(11) 르장드르
- 정수론, 타원함수론(개척자적 연구), 미분 방정식론. 르장드르 함수, 다항식, 르장드르기호(|). 적분론.

(12) 몽주 - 미분기하학의 아버지(3차원 공간에 있는 곡면의 곡률선의 개념 소개) 화법기하학의 창시

(13) 카르노 - 19C에 일어날 기하학과 수학 기초에 관한 연구

(14) 도량형의 미터법 제정

* 18C에는 변분법, 고차함수, 편미분방정식, 화법기하학, 미분기하학등 새로운 분야가 창조되었으며 여성의 수학분야에로의 등장(암에스, 제르맹)이다.


7. 19세기 초반 수학

- 기하학, 대수학의 발전과 해방(비유클리드 기하학의 탄생, 새로운 대수적 구조의 출현)
- 비판주의적 수학의 탄생,
- 미적분학의 논리적 기초 확립
- 수열의 극한. 급수의 수렴성 함수의 정의와 연속성의 개념 연구

(1) 가우스
- 수학의 황제.‘수학은 과학의 여왕이고 정수론은 수학의 여왕이다’
- 대수학의 기본정리 증명 복소수 용어의 최초 사용.

(2) 푸리에
- 응용수학자(열 전단문제에 관한연구) 임의의 함수는 구간에서 사인과 코사인함수의 합(즉, 삼각급수, 푸리에 급수)으로 분해될 수 있다고 주장,
- 푸리에 급수:,
- 칸토르의 무한 집합론 탄생의 계기 ⇒ 조화해석학, 편미분방정식의 경계치 문제의 해결방법에 동기부여.

(3) 코시
- 함수론의 아버지. ε-δ논법 창안(극한과 연속성의 개념 확립), 미분방정식론에 기여. 무한급수의 수렴과 발산에 관한 연구.
- 무한소에 관한 수학적 정의 시도. 함수의 엄밀한 정의 추구. 평균치 정리 증명. 미분과 적분의 역산관계 증명.
- 정적분을 합의 극한으로 정의 함수가 푸리에 급수로 표현되기 위한 조건 연구.
- 연속함수의 적분가능성 증명. 행렬이론에의 업적(행렬시의 특성방정식 도입)

(4) 아벨
- 타원함수에 관한 연구. 가환군의 개념 도입. 무한 급수에의 기여(수렴 찬정법. 멱급수에 관한 정리).
- 미적분학에 기여. 일반적인 5차이상의 대수방정식을 대수적으로 푸는 것이 불가능함을 증명.

(5) 갈로아
- 갈로아 이론의 도입으로 방정식론에 근본적인 개혁을 가져온 대수학자. 군(group)이란 용어의 최초 사용. 군론의 창시자.
- 아벨의 가환군의 개념을 이용하여 5차이상의 대수방정식이 근의 공식을 가질 수 없음을 증명.

(6) 디리클레
- 연속성과 함수의 현대적 정의를 최초로 함. 해석적 정수론의 창시(가우스의 소수 정리 연구)
- 한 함수의 푸리에 급수가 수렴하기 위한 조건의 연구.

(7) 비유클리드 기하학 - 유클리드의 평행선의 공리를 부정하는 기하학
① 사케리 - 유클리드의 평행선의 공리를 증명하려 했으나 실패 (비유클리드 기학 탄생의 한 계기)
② 로바체프스키, 보요이 - 쌍곡선형 비 유클리드 기하학의 창시 (무수히 많은 평행선이 존재)
③ 리만 - 타원형 비 유클리드 기하학의 창시 (평행선은 존재하지 않는다), 리이만 적분의 개념 확립. 다양체의 개념 최초 도입.

(8) 새로운 대수적 구조의 출현-기존의 산술대수의 5가지 공준을 만족하지 않는 대수적 구조의 도입
① 해밀턴의 사원수 - 실수의 4중 순서수()로서 곱셈의 교환법칙 불성립. 최초의 비가환애수
② 그라스만의 다윈수 - 실수의 n중 순서수(). 많은 다른 대수가 존재
③ 캐일리의 행렬대수 - 교환법칙의 불성립
④ 조르당 대수. 리이 대수 - 결합법칙의 불성립
⑤ 모노이드, 군, 환, 정역, 속, 부울환, 부2울대수, 체, 벡터공간 등의 새로운 대수적 구조의 탄생.


8. 19세기 후반 수학 - 직관주의에의 경고

- 수학의 엄밀성 확립. 해석학의 산술화(실수제의 연구)

(1) 3대각도 불능문제의 해결-해석기하학의 도움.
①원적문제-작도 가능한 구는 대수적인수(완첼)이나 는 초월수임을 린데만이 증명, 해결
②입방배적문제. 임의의 각의 3등분 문제-갈로아 이론으로 해결

(2) 퐁슬레 - 사영기하학의 확립. 쌍대의 원리와 연속의 원리

(3) 플뤼커 -해석기하학의 방법의 발전에 지대한 공헌, 단축표기법. 3차곡선의 완전한 분류

(4) 클라인 - 에를랑겐 프로그램. 모든 기하학의 통일을 시도(공간의 변환군에 의해 불변인 성질 연구)
(*) 케일리, 벨트라미, 클라인, 프왕카레-유클리드 기하학안에서 비유클리드 기하학의 모형을 만듬으로써 비유클리드 기하학을 유클리드 공간 속의 특수한 곡면 위에서의 기하학으로 해석.

(5) 해석학의 산술화
- 극한, 연속성. 미분가능성에 관한 이론이 숨겨진 실수계에 의해 좌우된다는 사실인식.
- 따라서 실수계 자체가 엄밀하게 정의되어야 하고 모든 해석학의 기초 개념이 이 수체계로 부터 유도되어야 한다고 주창하는 프로그램.

(참고)
달랑베르 (극한이론의 필요성제기)
→ 라그랑즈 (해석학의 직관론과 형식론의 제거 시도)
→ 가우스 (무한급수의 수렴성 최초로 고찰)
→ 코시 (연속. 미분가능. 정적분을 극 한개념으로 정의)
→ 바이어슈트라스 (도함수를 가리지 않는 연속함수의 발견, 해석학의 산술화 주창)

(6) 바이어 슈크라스 - 해석학의 산술화라는 프로그램 주창. 무리수의 이론, 평등수렴의 발견.

(7) 데데킨트 - 절단(cut)의 개념으로 실수를 정의함. 대수학에서의 이데알 개념 창시

(8) 칸토르
- 집합론과 무한이론의 창시자. 무리수론 연구.
- 해석학의 기초에 관심제고. 무한을 수학적 대상화 (무한개수 의 도입. 계산법 발견)

(9) 크로네커 - 칸토르의 무한이론을 신학으로 간주하여 비난. 방정식론. 대수적 수론에 기여

(10) 프왕카레 - 대수적 위상수학의 창시자. 미분방정식론, 확률론등 수학의 모든 분야에서 업적. (곡면이나 다면체의 위상적 성질 연구)

(11) 네더(Noether) - 여성수학자. 소거이론과 불변량이론에의 연구(대수학에의 공헌)


9. 20세기 수학

- 공리론 탄생.
- 집합론의 모순성에 관한 연구.
- 추상공간의 발견(프레세).
- 수학의 방법론 연구


수학자들